${\int }_{-1}^1\left(x + \left|x\right|\right)dx = ?$

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত ইন্টিগ্রালটি হলো: \( \int_{-1}^{1}(x + |x|)dx \)

আমরা জানি, পরম মান ফাংশন \(|x|\) কে নিম্নোক্তভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

    
• যদি \(x \ge 0\) হয়, তবে \(|x| = x\)
    
• যদি \(x < 0\) হয়, তবে \(|x| = -x\)

ইন্টিগ্রেশনের সীমা \(-1\) থেকে \(1\) পর্যন্ত বিস্তৃত। \(x=0\) বিন্দুতে \(|x|\) এর সংজ্ঞা পরিবর্তিত হয়। তাই আমরা ইন্টিগ্রালটিকে দুটি অংশে বিভক্ত করব:

\[ \int_{-1}^{1}(x + |x|)dx = \int_{-1}^{0}(x + |x|)dx + \int_{0}^{1}(x + |x|)dx \]

প্রথম অংশের জন্য, যখন \(-1 \le x < 0\), তখন \(x\) ঋণাত্মক। সুতরাং, \(|x| = -x\)।

\[ \int_{-1}^{0}(x + |x|)dx = \int_{-1}^{0}(x - x)dx = \int_{-1}^{0}0 \, dx = 0 \]

দ্বিতীয় অংশের জন্য, যখন \(0 \le x \le 1\), তখন \(x\) ধনাত্মক বা শূন্য। সুতরাং, \(|x| = x\)।

\[ \int_{0}^{1}(x + |x|)dx = \int_{0}^{1}(x + x)dx = \int_{0}^{1}2x \, dx \]

এখন, দ্বিতীয় ইন্টিগ্রালটি সমাধান করি:

\[ \int_{0}^{1}2x \, dx = \left[ 2 \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \left[ x^2 \right]_{0}^{1} \]

উচ্চ সীমা এবং নিম্ন সীমা প্রয়োগ করে পাই:

\[ (1)^2 - (0)^2 = 1 - 0 = 1 \]

সুতরাং, মোট ইন্টিগ্রালের মান হবে প্রথম অংশ এবং দ্বিতীয় অংশের যোগফল:

\[ \int_{-1}^{1}(x + |x|)dx = 0 + 1 = 1 \]